Question

求二重积分

Answer 1

一、利用直角坐标计算二重积分
我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题.

讨论中,我们假定 ；

假定积分区域可用不等式 表示,

其中, 在上连续.


据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.


在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为

一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为


利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为


从而有


(1)
上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分.

这个先对, 后对的二次积分也常记作


在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的

Answer 2

积分过程如图所示