Question

高中数学： 已知与曲线C：x^2+y^2-2x-2y+1=0相切的直线l,与x轴、y轴交于A、高中

高中数学： 已知与曲线C：x^2+y^2-2x-2y+1=0相切的直线l,与x轴、y轴交于A、高中数学：

已知与曲线C：x^2+y^2-2x-2y+1=0相切的直线l,与x轴、y轴交于A、B两点，O为原点，|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2).

(1)求证：l与C相切的条件是：（a-2）(b-2)=2；

（2）求线段AB中点的轨迹方程。

跪求答案及过程。
谢谢。

Answer 1

曲线C为圆: (x-1)^2+(y-1)^2 =1。圆心C(1,1),半径=1
直线L: x/a +y/b =1，若直线L与圆相切，则：
C(1,1)到直线L距离 =半径 =|1/a +1/b -1|/根号(1/a^2+1/b^2)
==> ab(ab-2a-2b-2)=0 ==> ab-2a-2b+2 =0
==> (a-2)(b-2)=2 ...(1)
线段AB中点P(X,Y), X=a/2,Y=b/2
(1) ==> (X-1)(Y-1)=1/2，(X,Y>1)。此即轨迹方程
三角形AOB面积S=ab/2
ab-2a-2b+2 =0 ==> ab+2=2(a+b)>=4*根号(ab)
ab>=6+4*根号2
==> S>=3+2*根号2
面积的最小值 =3+2*根号2