Question

已知函数f(x)=lnx+（2a/x），a∈R

（1）若函数f(x)在[2,正无穷)上是增函数，求实数a的取值范围
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3 ，求实数a的值

Answer 1

（1）
定义域是x>0
f'(x)=1/x-2a/x^2=(x-2a)/x^2
f(x)在[2,+∞)上是增函数

f'(x)=(x-2a)/x^2>=0
x>=2a
x最小值=2
∴2>=2a
a<=1
实数a的取值范围a<=1
(2)
定义域是x>0
f'(x)=1/x-2a/x^2=(x-2a)/x^2
令f'(x)=0
x=2a
当2a<1时，即a<1/2
f(x)在[1，e]单增

f(x)最小值=f(1)=0+2a/1=2a=3
a=3/2与a<1/2矛盾
舍去
当1<=2a<=e时
即1/2<=a<=e/2
f(x)在[1，2a)递减，在[2a,e]递增
∴最小值=f(2a)=ln2a+1=3
ln2a=2
2a=e^2
a=e^2/2不在1/2<=a<=e/2范围内
舍去
当2a>e时，即a>e/2
f(x)在[1，e]递减
f(x)最小值=f(e)=1+2a/e=3
2a/e=2
a=e复合a>e/2
∴综上a=e
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