微积分七讲
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上册有三讲:极限、一元函数微分学、一元函数积分学；下册有四讲:多元微分学、二重积分、微分方程、无穷级数。
第一讲极限。
核心考点有三。
一、极限的定义及性质。函数极限和数列极限定义学会数学翻译，所有极限的成立，都是在取值范围内的；
掌握递推法(高阶到低阶)；数学归纳法(从低阶到高阶)。
讨论一个函数在定义域上的有界性；
二、重点是极限计算。十六字方针:化简先行、判别类型、使用工具、注意事项。
化简先行中等价无穷小替换中"抓大头"，注意找“带头大哥”(多项加加减减，找最大的那项，把其他项都甩掉)；离铅垂渐近线走得越近的人其实跑无穷大越慢；恒等变形中数学上不喜欢金字塔，因其极其稳定，头重脚轻根蒂浅；
判别类型中只有7种未定式。0·∞型设置分母有原则，简单分母才下放；∞-∞型没有分母，创造分母。
使用工具中慎用洛必达，洛必达法则是求导的结果存在，原式才存在。带着参数求导的结果你不知道是几。若洛必达失效，反思一下准备工作有没有做好(化简)；在泰勒眼中所有函数都是幂函数，包括变上限积分函数。
注意事项是指总结经验教训。
含参数的极限综合题加强训练。
数列极限计算:归结原则、夹逼准则、单调有界准则(注意数学归纳法)。
三、极限的应用——连续与间断。
第二、三讲 一元函数微积分学。
核心考点有四。
一、定义:导数、微分、不定积分、定积分、变限积分、反常积分。
原函数存在定理:看一个函数是否有不定积分，盯着"连续与间断"；
函数可积:看一个函数是否有定积分，盯着函数在有限区间上有界且只有有限个间断点；
根据被积函数图像画变限积分函数的图像，后者斜率是前者的值，后者函数值对应前者上面的面积。
函数的奇偶性、周期性、有界性(证谁有界，给谁加绝对值；证有界，最后结果都是常数，不能有变量)。
定积分精确定义。
变限积分属于定积分范畴，实质上是取决于x的一个动的面积；变限积分求导公式使用前提:被积函数中只含积分变量，不含求导变量。
反常积分是定积分之拓展，分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分；判断反常积分的关键:看奇点；判断反常积分是否收敛关键:看曲线和直线的接近程度(离水平渐进线越近，趋向于0的速度越快；离铅垂渐进线越远，跑无穷大的速度越快)，P积分必考无疑。
二、计算。
1、积分。
基本积分公式:三角函数10个、分母开方的4个、分母不开方的4个。(对数函数求导视绝对值而不见)
步骤:普京抓主要矛盾求导凑微分；若凑微分失效，针对复杂部分作换元处理，先考虑微观换元法；举重若轻，宏观换元法。
华里式公式(点火公式)证明；一个题目结合区间再现公式、换元、点火(华里士)公式。
2、求导。
一般题:复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导、反函数求导、对数求导法、分段函数求导；
高阶题:泰勒和麦克劳林、莱布妮子(考得少)。
三、应用。
1、几何应用。
①导数性态——三点两性一线:极值点与单调性、拐点与凹凸性、渐进线、最值点。
极值点和拐点的判别法一都是看一个点的左右两边导数符号，判别法二都是盯着一个点看，判别法二要会证明；(求拐点注意抓主要矛盾)
渐近线求解程序有三，其中第一点求定义域是关键，后两步关键是极限计算!
求一元函数最值——闭区间上比较驻点、不可导点、端点函数值；开区间上不能取端点取极限值。最后比较时涉及到函数计算，如计算三角函数值，注意看图说话，如背过正弦函数在【0，π】上的四等分面积。
②积分(测度)
平面图形面积、旋转体体积、平均值。
难点在于计算，任何一道编好的考研题，都有能力把图像画出来(导数性态)。
四、逻辑(证明)
中值定理、不等式证明、方程根(等式证明)
第四讲 多元函数微分学
核心考点有三。
一、概念5个
1、极限的存在性:两个定义；三种方法:等价无穷小替换、无穷小·有界=无穷小、夹逼准则。
2、连续性
3、偏导数存在性
4、可微
5、偏导数的连续性
二、计算-微分法
三、应用-极值与最值:无条件极值与点儿塔法；条件最值与拉格朗日乘数法。
对计算二元函数的极限和全微分有了更深刻的认识和掌握，拉格朗日乘数法关键是计算。
第五讲 二重积分
核心考点有三。
一、概念与对称性。二重积分看作是一个个薯条组成的大面包；对称性分普通对称性与轮换对称性，轮换对称性只是"积分值与字母无关"的特例、巧合。
二、计算。
1、基础题。直角坐标系、极坐标系
2、技术题。换序、对称性、形心公式的逆用。
三、综合题。
第六讲 微分方程
核心考点有三。按类求解，对号入座。
一、一阶方程:可分离变量型、齐次型、一阶线性型、可降阶
求解中出现对数，其真数要带绝对值符号。
可降阶微分方程通过换元变形成其他三种形式的微分方程，尤其是转化成一阶线性型再求解。
二、高阶方程:二阶常系数齐次线性方程、非齐次
对于高阶方程除了会正向求解外，要掌握已知特解反求方程(逆向思维)。
三、应用题。
背景公平；翻译成数学表达式。
另今天接触到牛顿-莱布尼茨公式的逆用:将一个数写成定积分的形式，这种逆向思想令人感到惊艳。
第七讲 无穷级数
核心考点有三。
一、数项级数的判敛。
1、概念(本质):无穷级数本质是研究通项在n趋于无穷大时趋于0的速度，对比无穷区间上反常积分收敛时高"无穷小的程度"；
2、分类:(常)数项级数-正项级数、交错级数、任意项级数
函数项级数-幂级数
3、数项级数的判敛
①正项级数的判敛:
收敛原则，抽象级数判敛，写其前n项和，证其有界 ，难的是放缩法；
正项级数比较判别法；
比较判别法的极限形式和P级数是重点；P级数和1到无穷大区间上的P积分对比，一个是离散累加，一个是连续累加。
比值判别法；
根值判别法。
②交错级数的判敛:莱布尼茨判别法；
③任意项级数判绝对收敛；
连续放缩的递推法。
二、幂级数的收敛域。
三、展开与求和。
1、幂级数展开分为直接展开(照着6个公式套)和间接展开(先变形)。
2、先导后积的推导。
求和函数先导后积中有嵌套的先导后积，注意换字母以区分各变量；具体求结果时便是硬基础——定积分的计算(时刻注意对数的真数为正)；
幂级数的展开与求和各重做一道错题。发现还是出错。每次自己独立动脑做题都会发现意外惊喜——新错误。只有自己动笔做而非直接听或看答案，才能真正理解题目的内涵。做过很多遍的题，看起来简单，但还会出错说明要脚踏实地，不能眼高手低。踏踏实实砌好每一块砖。学一个知识点就是学成千上万个知识。
高数下册微分方程及无穷级数是上册极限与微积分的具体运用，计算过程处处跟上册有密切联系。一些题目只是套上级数的外衣。
第一讲极限。
核心考点有三。
一、极限的定义及性质。函数极限和数列极限定义学会数学翻译，所有极限的成立，都是在取值范围内的；
掌握递推法(高阶到低阶)；数学归纳法(从低阶到高阶)。
讨论一个函数在定义域上的有界性；
二、重点是极限计算。十六字方针:化简先行、判别类型、使用工具、注意事项。
化简先行中等价无穷小替换中"抓大头"，注意找“带头大哥”(多项加加减减，找最大的那项，把其他项都甩掉)；离铅垂渐近线走得越近的人其实跑无穷大越慢；恒等变形中数学上不喜欢金字塔，因其极其稳定，头重脚轻根蒂浅；
判别类型中只有7种未定式。0·∞型设置分母有原则，简单分母才下放；∞-∞型没有分母，创造分母。
使用工具中慎用洛必达，洛必达法则是求导的结果存在，原式才存在。带着参数求导的结果你不知道是几。若洛必达失效，反思一下准备工作有没有做好(化简)；在泰勒眼中所有函数都是幂函数，包括变上限积分函数。
注意事项是指总结经验教训。
含参数的极限综合题加强训练。
数列极限计算:归结原则、夹逼准则、单调有界准则(注意数学归纳法)。
三、极限的应用——连续与间断。
第二、三讲 一元函数微积分学。
核心考点有四。
一、定义:导数、微分、不定积分、定积分、变限积分、反常积分。
原函数存在定理:看一个函数是否有不定积分，盯着"连续与间断"；
函数可积:看一个函数是否有定积分，盯着函数在有限区间上有界且只有有限个间断点；
根据被积函数图像画变限积分函数的图像，后者斜率是前者的值，后者函数值对应前者上面的面积。
函数的奇偶性、周期性、有界性(证谁有界，给谁加绝对值；证有界，最后结果都是常数，不能有变量)。
定积分精确定义。
变限积分属于定积分范畴，实质上是取决于x的一个动的面积；变限积分求导公式使用前提:被积函数中只含积分变量，不含求导变量。
反常积分是定积分之拓展，分为无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分；判断反常积分的关键:看奇点；判断反常积分是否收敛关键:看曲线和直线的接近程度(离水平渐进线越近，趋向于0的速度越快；离铅垂渐进线越远，跑无穷大的速度越快)，P积分必考无疑。
二、计算。
1、积分。
基本积分公式:三角函数10个、分母开方的4个、分母不开方的4个。(对数函数求导视绝对值而不见)
步骤:普京抓主要矛盾求导凑微分；若凑微分失效，针对复杂部分作换元处理，先考虑微观换元法；举重若轻，宏观换元法。
华里式公式(点火公式)证明；一个题目结合区间再现公式、换元、点火(华里士)公式。
2、求导。
一般题:复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导、反函数求导、对数求导法、分段函数求导；
高阶题:泰勒和麦克劳林、莱布妮子(考得少)。
三、应用。
1、几何应用。
①导数性态——三点两性一线:极值点与单调性、拐点与凹凸性、渐进线、最值点。
极值点和拐点的判别法一都是看一个点的左右两边导数符号，判别法二都是盯着一个点看，判别法二要会证明；(求拐点注意抓主要矛盾)
渐近线求解程序有三，其中第一点求定义域是关键，后两步关键是极限计算!
求一元函数最值——闭区间上比较驻点、不可导点、端点函数值；开区间上不能取端点取极限值。最后比较时涉及到函数计算，如计算三角函数值，注意看图说话，如背过正弦函数在【0，π】上的四等分面积。
②积分(测度)
平面图形面积、旋转体体积、平均值。
难点在于计算，任何一道编好的考研题，都有能力把图像画出来(导数性态)。
四、逻辑(证明)
中值定理、不等式证明、方程根(等式证明)
第四讲 多元函数微分学
核心考点有三。
一、概念5个
1、极限的存在性:两个定义；三种方法:等价无穷小替换、无穷小·有界=无穷小、夹逼准则。
2、连续性
3、偏导数存在性
4、可微
5、偏导数的连续性
二、计算-微分法
三、应用-极值与最值:无条件极值与点儿塔法；条件最值与拉格朗日乘数法。
对计算二元函数的极限和全微分有了更深刻的认识和掌握，拉格朗日乘数法关键是计算。
第五讲 二重积分
核心考点有三。
一、概念与对称性。二重积分看作是一个个薯条组成的大面包；对称性分普通对称性与轮换对称性，轮换对称性只是"积分值与字母无关"的特例、巧合。
二、计算。
1、基础题。直角坐标系、极坐标系
2、技术题。换序、对称性、形心公式的逆用。
三、综合题。
第六讲 微分方程
核心考点有三。按类求解，对号入座。
一、一阶方程:可分离变量型、齐次型、一阶线性型、可降阶
求解中出现对数，其真数要带绝对值符号。
可降阶微分方程通过换元变形成其他三种形式的微分方程，尤其是转化成一阶线性型再求解。
二、高阶方程:二阶常系数齐次线性方程、非齐次
对于高阶方程除了会正向求解外，要掌握已知特解反求方程(逆向思维)。
三、应用题。
背景公平；翻译成数学表达式。
另今天接触到牛顿-莱布尼茨公式的逆用:将一个数写成定积分的形式，这种逆向思想令人感到惊艳。
第七讲 无穷级数
核心考点有三。
一、数项级数的判敛。
1、概念(本质):无穷级数本质是研究通项在n趋于无穷大时趋于0的速度，对比无穷区间上反常积分收敛时高"无穷小的程度"；
2、分类:(常)数项级数-正项级数、交错级数、任意项级数
函数项级数-幂级数
3、数项级数的判敛
①正项级数的判敛:
收敛原则，抽象级数判敛，写其前n项和，证其有界 ，难的是放缩法；
正项级数比较判别法；
比较判别法的极限形式和P级数是重点；P级数和1到无穷大区间上的P积分对比，一个是离散累加，一个是连续累加。
比值判别法；
根值判别法。
②交错级数的判敛:莱布尼茨判别法；
③任意项级数判绝对收敛；
连续放缩的递推法。
二、幂级数的收敛域。
三、展开与求和。
1、幂级数展开分为直接展开(照着6个公式套)和间接展开(先变形)。
2、先导后积的推导。
求和函数先导后积中有嵌套的先导后积，注意换字母以区分各变量；具体求结果时便是硬基础——定积分的计算(时刻注意对数的真数为正)；
幂级数的展开与求和各重做一道错题。发现还是出错。每次自己独立动脑做题都会发现意外惊喜——新错误。只有自己动笔做而非直接听或看答案，才能真正理解题目的内涵。做过很多遍的题，看起来简单，但还会出错说明要脚踏实地，不能眼高手低。踏踏实实砌好每一块砖。学一个知识点就是学成千上万个知识。
高数下册微分方程及无穷级数是上册极限与微积分的具体运用，计算过程处处跟上册有密切联系。一些题目只是套上级数的外衣。
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