Question

已知圆C: x^2+y^2-2x-2y+1=0,直线L:y=kx,且L与圆C交与P,Q两点,点M(0,b)满足MP垂

已知圆C: x^2+y^2-2x-2y+1=0，直线L:y=kx，且L与圆C交与P、Q两点，点M（0，b）满足MP垂直MQ。
（1）当b=1时，求k的值；（2）b＞0求k的取值范围。

Answer 1

C: x^2+y^2-2x-2y+1=0
(x-1)^2 + (y-1)^2 =1
圆心 (1,1), 半径 R=1. 圆与y轴相切于(0,1), 与x轴相切于(1,0).
（1）
当b=1时, M(0,1), M在圆上，MP垂直MQ,
=> PQ是圆的直径
PQ在直线 y=kx 上，过圆心(1,1)
k=1
（2）
令P(x1,y1)，Q(x2,y2)
则向量MP=(x1,y1-b)，向量MQ=(x2,y2-b)
因MP⊥MQ
则向量MP*向量MQ=0
即x1x2+(y1-b)(y2-b)=0
即x1x2+y1y2-b(y1+y2)+b^2=0（1）

联立直线与圆方程有(k^2+1)x^2-2(k+1)x+1=0
由韦达定理有x1+x2=2(k+1)/(k^2+1)，x1x2=1/(k^2+1)
而P、Q同在直线上
于是y1=kx1，y2=kx2
所以y1y2=k^2x1x2=k^2/(k^2+1)，y1+y2=k(x1+x2)=2k(k+1)/(k^2+1)
由（1）式就得到1/(k^2+1)+k^2/(k^2+1)-2bk(k+1)/(k^2+1)+b^2=0
整理得(b-1)^2k^2-2bk+(b^2+1)=0
若整理成关于b的二元方程(k^2+1)b^2-2k(k+1)b+(k^2+1)=0
因b存在，即上述方程有解
则判别式⊿≥0
即有2k^3-k^2-1≥0
即有(k-1)(2k^2+k+1)≥0
注意到2k^2+k+1>0恒成立
所以k-1≥0
即k≥1
同时b>0
∴b1+b2=2k(k+1)/(k^2+1)>0
b1*b2=1>0
∴k>0
综上取交集k≥1
如果您认可我的回答，请点击“采纳为满意答案”,谢谢！