Question

函数的最小正周期是

f<x>=(3tanx)/(1-(tanx)^2)
f<X>=|cos(x+π/4)+1/3|

Answer 1

1
f<x>=(3tanx)/(1-(tanx)^2)
=3/2*2tanx/(1-tan²x)
=3/2*tan2x
T=π/2

2
f<X>=|cos(x+π/4)+1/3|
y=cos(x+π/4)+1/3的周期T=2π
将y=cos(x+π/4)+1/3的图像在x轴下方部分沿x轴上翻，
【x轴上方部分不变】，就得到y=f(x)图像，
但周期不变，仍然是2π

追问

第一个是π/2吗？第二个周期怎么没变呀，不是缩小了一般呀，翻上去了呀,不能理解= =

追答

y=cos(x+π/4)+1/3是沿直线y=1/3上下波动的，

翻折是沿x轴的，不是将完整的波谷都翻上去了，
因此周期没有改变的

y=sinx ---> y=|sinx|
这是沿波动轴翻得，周期才缩半。

1的答案是π,给错了
①tanx的周期为π,tanwx的周期为π/|w|
②但函数定义域为： x≠kπ+π/2,x≠kπ+π/4,k∈Z
x≠-π/2,但x=0可以
∴周期T=π

追问

那就是答案错了，第一个答案是π

追答

第一个答案是π

Answer 2

基本概念

如果一个函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期（minimal positive period）.例如，正弦函数的最小正周期是2π.

根据上述定义，我们有：

对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。

y=Asin(ωx+φ), T=2π/ω

编辑本段算法实例

函数f(x)±g(x)最小正周期的求法

定义法

例1求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期.

解:∵ =|sinx|+|cosx|

=|－sinx|+|cosx|

=|cos(x+π/2)|+|sin(x+π/2)|

=|sin(x+π/2)|+|cos(x+π/2)|

=f(x+π/2)

对定义域内的每一个x，当x增加到x+π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2.（如果f（x+T）=f（x），那么T叫做f（x）的周期）

公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T=2π/|w| ，正余切函数T=π/|w|．

例2求函数y=cotx－tanx的最小正周期.

解：y=1/tanx－tanx=(1－tan^2· x)/tanx=2*(1－tan^2·x)/(2tanx)=2cot2x

∴T=π/2

最小公倍数法

设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数，分数的最小公倍数=T1,T2分子的最小公倍数/T1、T2分母的最大公约数

例3求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期.

解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3,T2=2π/5 ，所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π/1=2π.

例4求y=sin3x+tan2x/5 的最小正周期.

解：∵sin3x与tan2x/5 的最小正周期是2π/3与5π/2,其最小公倍数是10π/1=10π.

∴y=sin3x+tan2x/5的最小正周期是10π.

图象法

例5求y=|sinx|的最小正周期.

解：由y=|sinx|的图象

可知y=|sinx|的周期T=π.

补充问题

函数 的最小正周期为（b ）

A.π/4 B.π/2 C.π D.2π