《Unity Shader入门精要》笔记（三）
二维笛卡尔坐标系：
x轴、y轴朝向并非固定，如：OpenGL和DirectX使用了不同的二维笛卡尔坐标系。
三维笛卡尔坐标系：
标准基矢量：互相垂直，且长度为1的基矢量。
正交基：互相垂直，但长度不为1的基矢量。
以手的大拇指作为 +x 轴，食指作为 +y 轴，中指作为 +z 轴，将3根手指互相垂直，可以用左手示意的坐标系，为左手坐标系：
可以用右手示意的坐标系，为右手坐标系：
左手坐标系和右手坐标系无法通过旋转实现坐标轴指向重合。
左手坐标系和右手坐标系分别对应 左手法则 和 右手法则 ，用来在坐标系中定义旋转的正方向，下图4个手指指向的方向即为正方向：
Unity的模型空间和世界空间使用的是左手坐标系，注意观看下图红、绿、蓝轴在右上角分别对应x轴、y轴、z轴：
Unity的观察空间使用的是右手坐标系。观察空间，就是以摄像机作为原点的坐标系，在这个坐标系中，摄像机的前向是z轴的负方向，与模型/世界空间的定义相反。即：z轴坐标的减少意味着场景深度的增加。
点是n维空间（游戏中主要是用二维、三维空间）中的一个位置，没有大小、宽度的概念。
二维空间点的表示： p = (x, y)
三维空间点的表示： p = (x, y, z)
矢量是n为空间中包含模和方向的有向线段，没有位置的概念。
矢量的模：矢量的长度，非负数。
矢量的方向：矢量在空间中的指向。
矢量的表示与点类似， v = (x, y)，v = (x, y, z)，v = (x, y, z, w) 。
为区分点和矢量，在变量书写上，标量用小写字母表示，如：a, b, x, y, z等；矢量用小写的粗体字母表示，如： a , b , u , v 等。
矢量通常有一个箭头表示：
标量是只有模，没有方向的量，比如：距离、速度等。
矢量无法与标量进行加减运算，但是可以进行乘法或除法运算。
矢量与标量的乘法：
kv = (kv x , kv y , kv z )
矢量可以被非0的标量除，但是矢量无法作为除数：
从几何意义上看，一个矢量 v 和一个标量k相乘，意味着对矢量 v 进行一个大小为|k|的缩放。若k<0，则矢量方向取反，如下图：
两个矢量加减，即：两个矢量的对应分量进行加减，公式如下：
a + b = (a x +b x , a y +b y , a z +b z )
a - b = (a x -b x , a y -b y , a z -b z )
从几何意义上看，矢量加法，即：把矢量 a 的头连接到矢量 b 的尾，然后画一条从 a 的尾到 b 的头的矢量，来得到 a 和 b 相加后的矢量，如下图所示：
也可以理解为：一个点从 a 的尾进行位置偏移 a ，在进行位置偏移 b ，就等同于进行了 a + b 的位置偏移，这被称为矢量加法的 三角形定则 。
矢量的减法类似：
在图形学中，矢量通常用于描述位置偏移（简称位移）。我们可以利用矢量的加法和减法来计算一点相对于另一点的位移。
矢量的模是一个标量，可以理解为矢量在空间中的长度。表示符号通常是在矢量的两边加上竖线，比如：| v |。
三维矢量的模的计算公式：
其他维度的矢量的模计算类似，都是对每个分量平方相加后开根号。几何意义，可用下图解释：
单位矢量指模为1的矢量，也被称为被归一化的矢量（normalized vector）。通常用在只关心方向，不关心模的矢量，比如：模型的发现方向、光源方向等。
把非零矢量转换成单位矢量的过程叫 归一化 。
单位矢量的表示为：
单位矢量的公式：
零矢量：每个分量的值都为0的矢量，如： v = (0, 0, 0)。零矢量不能被归一化，因为除法运算时，分母不能为0。
从几何意义上看，对于二维空间，单位矢量就是从圆心出发、到圆边界的矢量：
对于三维空间，单位矢量就是从圆心出发、到球面的矢量。
在Unity Shader中，会经常遇到法线方向、光源方向，这些矢量不一定是归一化后的矢量，计算的时候需要将这些矢量归一化成单位矢量。
矢量的乘法有两种类型：点积（dot product）、叉积（cross product）。
矢量的点积，也叫内积。点积的运算表示： a · b ，中间的点不能省略。
点积公式一 ：
a · b = (ax, ay, az) · (bx, by, by) = axby + ayby + azbz
点积满足交换律：
a · b = b · a
点积的几何意义： 投影 。
投影的值可能是负数，投影结果的正负号与 a 、 b 两个矢量的方向有关：方向相反，结果小于0；方向相同，结果大于0；方向垂直，结果等于0。
性质一：
点积可结合标量乘法
(k a )· b = a ·(k b )=k( a · b )
k的几何意义是：对矢量进行缩放。
性质二：
点积可结合矢量加减法
a ·( b + c ) = a · b + a · c
将 c 换成- c 就是减法的版本。
性质三：
一个矢量与自身点积的结果是该矢量模的平方
v · v = v x v x + v y v y + v z v z = | v | 2
可以用矢量点积的形式来求矢量的模，Shader中常用模的平方来直接做比较或运算，目的是减少开放带来的性能消耗。
点积公式二 ：
a · b = | a || b |cosθ
公式二的证明：
假设对两个单位矢量进行点积
如下图所示：
由上图可知，cosθ对应的直角边是： a · b 的点积（ b 矢量在 a 矢量的投影），且 cosθ = 直角边 / 斜边 ，则 a · b 的点积 = cosθ * 斜边 ，因为单位矢量 b 的模是1（斜边长度为1），所以： a · b 的点积 = cosθ，也就是两个单位矢量的点积为夹角的cos值。
再由之前性质一，可得推导公式二：
由公式二可知，点积可用于求两个矢量的夹角：
叉积，也叫外积。与点积不同，叉积的结果仍然是矢量，而非标量。
叉积的表示： a x b ，叉号不能省略。叉积的计算公式如下：
a x b = (a x , a y , a z ) x (b x , b y , b z ) = (a y b z -a z b y , a z b x -a x b z , a x b y -a y b x )
具体的记法，可以这样：
叉积不满足交换律，即： a x b ≠ b x a ；但是叉积满足反交换律，即： a x b = - ( b x a )。
叉积不满足结合律，即：( a x b ) x c ≠ a x ( b x c )。
叉积的几何意义：
对两个矢量进行叉积的结果，会得到同时垂直于这两个矢量的新矢量。
叉积的模
公式：
| a x b | = | a || b |sinθ
这容易联想到平行四边形求面积：
面积A = | b | h = | b | (| a | sinθ) = | a || b |sinθ
叉积的方向
从几何意义可知，两个矢量的叉积，会得到垂直于两个矢量的新矢量，但是与其垂直的有两个向量。这时前面学到的 左/右手坐标系 就派上用场了，它用来确定叉积得到新矢量的方向朝哪边。
将大拇指与a同向，食指与b同向，中指指向的方向就是叉积结果的方向，所以使用左、右手就会得到不同的朝向，如下图：
同理，左右手法则也通用可以用来判断，如下图：
矩阵（Matrix），就是有m x n个标量组成的长方形数组，通常用方括号在左右两侧围住这些数字，大概像这样：
有些资料也会用圆括号或花括号，其实都一样的。
矩阵有行、列之分，上图的数组就是三行四列。以3x3矩阵为例，它可以写成：
mij表示这个元素在矩阵M的第i行、第j列。
矢量，我们通常写成： a = (x, y, z)，可以看出矢量与矩阵一样，也是个数组。将矢量按照矩阵的写法，可以看成是 n x 1 的列矩阵或 1 x n 的行矩阵，n对应矢量的维度。
以矢量 v = (3, 8, 6)举例，写成行矩阵：
[3, 8, 6]
写成列矩阵：
为什么要和矢量联系起来？因为Shader中经常会将法线（矢量）进行坐标变换，而坐标变换是矩阵的几何意义，所以需要运用矩阵的运算来将法线从模型空间转变成世界空间。（后续会学到）
与矢量类似，矩阵和标量相乘后，结果仍然是一个矩阵。公式如下：
矩阵和矩阵相乘后，结果也是矩阵。新的矩阵的维度与两个原矩阵的维度有关。一个 rxn 的矩阵A和一个 nxc 的矩阵B相乘后，得到的结果AB是一个 rxc 大小的矩阵。需要注意， 第一个矩阵的列数必须和第二个矩阵的行数相等，才能相乘 。
比如：矩阵A的维度是 4x3 ，矩阵B的维度是 3x6 ，则AB的维度是 4x6 。
矩阵乘法的表达式：
假设有 rxn 的矩阵A和 nxc 的矩阵B，相乘后得到一个 rxc 的矩阵C = AB，那么C中的每个元素Cij等于A的第i行所对应的矢量和B的第j列所对应的矢量进行点乘的结果，即：
简单解释为：
对于每个元素c ij ，找到A中的第 i 行和B中的第 j 列，把他们对应的元素相乘后再加起来，这个和就是c ij 。
性质一：
矩阵乘法不满足交换律： AB ≠ BA
性质二：
矩阵乘法满足结合律： (AB)C = A(BC) 、 ABCDE = ((A(BC))D)E = (AB)(CD)E
方块矩阵，简称方阵。指行数和列数相等的矩阵，比如： 3x3 、 4x4 的矩阵。
方块矩阵独有的： 对角元素 ——行号和列号相等的元素。只有对角元素非0的矩阵叫 对角矩阵 。
对角元素都为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，用I n 表示，比如：
单位矩阵特性：任何矩阵和它相乘的结果还是原来的矩阵。相当于标量中1的地位。
MI = IM = M
转置矩阵实际是对原矩阵的一种运算，即转置运算。一个 rxc 的矩阵M，其转置表示成M T ，是一个 cxr 的矩阵，本质是原来的矩阵行、列对换。
性质一：
矩阵转置的转置等于原矩阵。
(M T ) T = M
性质二：
矩阵串联的转置，等于反向串联各个矩阵的转置。
(AB) T = B T A T
只有方阵才有逆矩阵，逆矩阵表示为M -1 。一个矩阵与它的逆矩阵相乘，结果是一个单位矩阵：
MM -1 = M -1 M = I
有点标量里面倒数的味道。
不是所有方阵都有对应逆矩阵，比如：所有元素都为0的矩阵。
如果一个矩阵有对应的逆矩阵，则它是 可逆的 或 非奇异性的 ；
相反，则它是 不可逆的 或 奇异性的 。
判断矩阵是否可逆：
矩阵的 行列式 不为0，则它是可逆的。
参考视频链接： https://www.bilibili.com/video/BV1aW411Q7x1?p=2
性质一：
逆矩阵的逆矩阵是原矩阵本身。
(M -1 ) -1 = M
性质二：
单位矩阵的逆矩阵是它本身。
I -1 = I
性质三：
转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置。
(M T ) -1 = (M -1 ) T
性质四：
矩阵串联相乘后的逆矩阵等于反串联各个矩阵的逆矩阵。
(AB) -1 = B -1 A -1
(ABCD) -1 = D -1 C -1 B -1 A -1
矩阵的几何意义是 变换 ，逆矩阵表示还原这个变换，或这个变换的反向变换。
使用变化矩阵M对矢量 v 进行一次变换，然后再使用逆矩阵M -1 进行一次变换，会得到原来的矢量v。
M -1 (M v ) = (M -1 M) v = I v = v
正交矩阵是特殊的方阵。一个方阵M和它的转置矩阵的乘积是单位矩阵，则这个矩阵是正交的。
MM T = M T M = I
有逆矩阵的性质MM -1 = M -1 M = I可以得出正交矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵：
M T = M -1
正交矩阵可以用转置矩阵的运算代替逆矩阵的运算，因为逆矩阵计算更复杂。
怎样判定一个矩阵是正交矩阵？来看一下它有哪些定义。
因为：
所以：
于是可以得到以下结论：
一个矢量（比如：平行光的方向、表面发现方向），既可以写成行矩阵的形式，也可以写成列矩阵的形式，但是当它和矩阵相乘时，使用行矩阵还是列矩阵对其乘法的书写次序和结果值是有影响的。
假设有一个矢量 v = (x, y, z)，写成行矩阵是： v = [x y z]，写成列矩阵是： v = [x y z] T （这里使用转置符号表示列矩阵的写法，纯粹为了排版）。另外有一个矩阵M：
当M和行矩阵相乘时，写法为：
v M = [xm 11 +ym 21 +zm 31 xm 12 +ym 22 +zm 32 xm 13 +ym 23 +zm 33 ]
当M和列矩阵相乘时，写法为：
可以看到两者相乘的书写次序和结果里面元素也是不一样的。
Unity中通常把矢量当做列矩阵，所以相乘时，矢量是放在矩阵的右侧的，且阅读顺序也是从右到左。例如：
CBA v = (C(B(A v )))
表示先对 v 进行A矩阵变换，再进行B矩阵变换，最后进行C矩阵变换。
