Question

求解答过程：在平面直角坐标系中，

在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）． （1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数； （3）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．

Answer 1

解： （1） ∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转， ∴OA旋转了45度． ∴OA在旋转过程中所扫过的面积为 ． （2） ∵MN∥AC， ∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45度． ∴∠BMN=∠BNM． ∴BM=BN． 又∵BA=BC， ∴AM=CN． 又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN， ∴△OAM≌△OCN． ∴∠AOM=∠CON． ∴∠AOM= （90°﹣45°）=22.5度． ∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°﹣22.5°=22.5度． （3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化． 证明：延长BA交y轴于E点， 则∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM， ∴∠AOE=∠CON． 又∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN． ∴△OAE≌△OCN． ∴OE=ON，AE=CN． 又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM， ∴△OME≌△OMN． ∴MN=ME=AM+AE． ∴MN=AM+CN， ∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4． ∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．