只由一个非零向量组成的向量组是不是线性无关,为什么?

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小知爱综合
2021-12-16
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是线性相关。理由如下:

n个向量的向量组,至多表示n维线性空间。如果它能表示n维,就是线性无关的,满秩的,秩为n. 1个非零向量,可以表示1维线性空间,所以秩为1,满秩。注意,向量组所对应的矩阵不一定是方阵,所以这里的满秩指的是秩等于向量的个数。

n个向量的向量组,如果不能表示n维空间,至多能表示k维空间,k<n,那么这个向量组线性相关,秩为k。

扩展:

只由一个零向量构成的向量组,可以定义为线性相关。虽然没有别的向量,但是零向量不能表示任何维度,1个向量只能表示0维线性空间,故线性相关。

线性无关以下几个定义基本上是等价的:

1.向量组所有向量的线性组合,若系数不全为0,则结果一定是非零向量。

2.n个向量的向量组能表示n维线性空间。

3.n个向量的向量组的秩等于n。

4.向量组中任何一个向量,都不能被其它向量线性表出。

5.向量组中去除任何一个向量,都会降秩。

双子佳123456
2021-12-21
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上一个回答错误,单独一个非零向量一定是线性无关的。而单独一个零向量一定是线性相关的。因为根据线性相关的定义,对于一个向量组中的向量,A1到Am,当存在不全为0的k1......km,使得k1A1+k2A2+......+kmAm=0,则称向量组A1,A2,....Am线性相关。 而单独一个非零向量,只要系数不取0,都一定不会是0.所以单独一个非零向量一定线性无关。
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