Question

求作业答案：设a、b、c 为△ABC 的

设a、b、c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2 +2ax+b 2 =0 与x 2 +2cx-b 2 =0 有公共根的充要条件是A=90 °

Answer 1

证明： 充分性： ∵A=90 °，∴a 2 =b 2 +c 2 ， 于是方程x 2 +2ax+b 2 =0 可化为x 2 +2ax+a 2 -c 2 =0.   ∴x 2 +2ax+(a+c)(a-c)=0， ∴[x+(a+c)][x+(a-c)]=0 ， ∴该方程有两个根x 1 =-(a+c) ，x 2 =-(a-c).   同理，另一方程x 2 +2cx-b 2 =0 可化为x 2 +2ex-(a 2 -e 2 )=0 ， ∴x 2 +2cx+(c+a)(c-a)=0 ，     ∴[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,     ∴该方程有两个根x 3 =-(a+c) ，x 4 =-(c-a )．可以发现x 1 =x 3 ， ∴这两个方程有公共根，     必要性： 设α是两方程的公共根，      由①+②得2α 2 +2α(a+c) =0.     ∵α≠0 ∴α=-(a+c)， 将α=-(a+c)代入①得a 2 =b 2 +c 2 ． ∴A=90°．     综上可知，方程x 2 +2ax+b 2 =0与x 2 +2cx-b 2 =0有公共根的充要条件是A=90°