Question

谁会这道题：设等比数列{a n }的

设等比数列{a n }的首项为a 1 ，公比为q，且q＞0，q≠1， (Ⅰ)若a 1 =q m ，m∈Z，且m≥-l，求证：数列{a n }中任意不同的两项之积仍为数列{a n }中的项； (Ⅱ)若数列{a n }中任意不同的两项之积仍为数列{a n }中的项，求证：存在整数m，且m≥-1，使得a 1 =q m 。

Answer 1

证明：(Ⅰ)设a r ，a t 为等比数列{a n }中不同的两项， 由a 1 =q m ，得a r ·a t =a 1 q r-1 a1q t-1 =a 1 q (r+t+m-1) ， 又r+t≥3，且m≥-1，所以r+m+t-l≥1， 所以a r 、a t 是数列{a n }的第r+m+t-l项。 (Ⅱ)等比数列{a n }中任意不同两项之积仍为数列{a n }中的项， 令a s ·a t =a l (l，t，s∈N*，t≠s)， 由a s =a 1 ·q s-1 ，a t =a 1 ·q t-1 ，a l =a 1 ·q l-1 ，得a 1 ·q s-1 ·a 1 ·q t-1 =a 1 ·q l-1 ，a 1 =q l-s-t+1 ， 令整数m=l-s-t+1，则a 1 =q m ， 下证整数m≥-1， 若设整数m＜-1，则-m≥2，令k=-m， 由题设，取a 1 ，a k ，使a 1 ·a k =a r (r∈N*)， 即a 1 ·a 1 ·q k-1 =a 1 ·q r-1 ， 所以q m ·q -m-1 =q r-1， 即q -1 =q r-1， 因q＞0，q≠1， 故-1=r-1，r=0与r∈N*矛盾！ 所以m≥-1。