Question

这道题怎么做：已知集合A={1，2，3，

已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N*），对于A的一个子集S：若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s 1 ，s 2 ，都有|s 1 -s 2 |≠m，则称S具有性质P。 （1）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N*）是否具有性质P？并说明理由； （2）若集合S具有性质P，试判断集合T={（2n+1）-x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由。

Answer 1

解：（1）当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x>9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P。 因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到集合B中两个元素b 1 =10与b 2 =10+m，使得|b 1 -b 2 |=m成立。 集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N*）具有性质P。 因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c 1 =3k 1 -1，c 2 =3k 2 -1，k 1 ，k 2 ∈N*都有|c 1 -c 2 |=3|k 1 -k 2 |≠1。 （2）若集合S具有性质P，那么集合T={（2n+1）- x|x∈S）一定具有性质P。 首先因为T={（2n+1）-x|x∈S}， 任取t=（2n+1）-x 0 ∈T，其中x 0 ∈S， 因为S A，所以x 0 ∈{1，2，3，…，2n}， 从而1≤（2n+1）-x 0 ≤2n，即t∈A， 所以T A由S具有性质P，可知存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s 1 ，s 2 ，都有|s 1 -s 2 |≠m， 对上述取定的不大于n的正整数m，从集合T={（2n+1）-x|x∈S}中任取元素t 1 = 2n+1-x 1 ，t 2 =2n+1-x 2 ， 其中x 1 ，x 2 ∈S，都有|t 1 -t 2 |=|x 1 -x 2 |； 因为x 1 ，x 2 ∈S，所以有|x 1 -x 2 |≠m，即 |t 1 -t 2 |≠m， 所以集合T={（2n+1）-x|x∈S}具有性质P。