Question

第一张图中画黑色波浪线的地方，如何知道这两个列向量都对应于特征值3呢？根据第三张图中对矩阵B的变换，

我也看不出那两个列向量α1和α2是怎么得出的。

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Answer 1

矩阵B如下：
1 1 2
2 1 4
1 1 2

令B=[α₁ α₂ α₃]，其中三个列向量α₁=[1 2 1]ᵀ，α₂=[1 1 1]ᵀ，α₃=[2 4 2]ᵀ
因为AB=3B，代入B=[α₁ α₂ α₃]，得
[Aα₁ Aα₂ Aα₃]=[3α₁ 3α₂ 3α₃]
所以Aα₁=3α₁，Aα₂=3α₂，Aα₃=3α₃
可见λ=3为A的特征值，α₁、α₂、α₃都是其对应的特征向量
又α₃=2α₁，α₁和α₃线性相关，那么α₁和α₂就是特征值3对应的两个线性无关的特征向量
因为A为二次型矩阵，实对称，其k重特征值对应k个线性无关的特征向量
所以λ=3为A的二重特征值