Question

求证明极限lim(x,y)->(0,0) (x^2 * sin^2y)/x^2 +9y^2 =0

如题，求证明该极限=0

Answer 1

x^2/(x^2+9y^2)<x^2/x^2=1
So
所以
0
≤|(x^2 * sin^2y)/(x^2 +9y^2)-0|
=|x^2/(x^2+9y^2)|*sin^2 y
≤1*sin^2 y
=sin^2y
取极限可得sin^2y->0
所以由夹逼法则，

lim(x,y)->(0,0) (x^2 * sin^2y)/(x^2 +9y^2) =0

追问

能介绍下夹逼法则吗？我才刚学求2变量极限，我只知道一个方法证明极限存在：如果有0(a,b) f(x,y)= L就成立。这个方法能证明我的问题吗？

追答

夹逼法：f(x)≤g(x)≤h(x)对于任意x都成立
如果lim x->x0 f(x)=lim x->x0 h(x)
那么lim x->x0 g(x)=lim x->x0 f(x)=lim x->x0 h(x)

可以，因为(x^2)/(x^2 +9y^2)≤1

所以
|(x^2 * sin^2y)/(x^2 +9y^2)-0|≤sin^2 y

对于任意ε>0
只需取C=min{π/2,arcsin(min{根号ε,1})}>0
那么只要00 递增, 所以siny<sinC<根号ε)
即证