三角形ABC中,角C=90度,角B=45度,AB=AC+CD,求证:AD平分角BAC.
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证:
由已知∠C=90°,∠B=45°,可得 ∠BAC=∠B=45°,AC=BC
设AC=BC=a,则AB=√2a
过D点,作DE⊥AB,交AB于E点,则
∠BDE=∠B=45°,DE=BE=√2BD,
设CD=x,则BD=BC-CD=a-x
DE=BE=BD/√2=(a-x)/√2
AE=AB-BE=√2a-(a-x)/√2=(a+x)/√2
已知AB=AC+CD,即√2a=a+x,
AE=(a+x)/√2=√2a/√2=a=AC
CD=√(AD^2-AC^2)=√(AD^2-AE^2)=DE
在RT△ACD和RT△AED中,AD=AD,AC=AE,CD=DE
RT△ACD≌RT△AED
∴∠CAD=∠EAD
即AD平分角BAC
由已知∠C=90°,∠B=45°,可得 ∠BAC=∠B=45°,AC=BC
设AC=BC=a,则AB=√2a
过D点,作DE⊥AB,交AB于E点,则
∠BDE=∠B=45°,DE=BE=√2BD,
设CD=x,则BD=BC-CD=a-x
DE=BE=BD/√2=(a-x)/√2
AE=AB-BE=√2a-(a-x)/√2=(a+x)/√2
已知AB=AC+CD,即√2a=a+x,
AE=(a+x)/√2=√2a/√2=a=AC
CD=√(AD^2-AC^2)=√(AD^2-AE^2)=DE
在RT△ACD和RT△AED中,AD=AD,AC=AE,CD=DE
RT△ACD≌RT△AED
∴∠CAD=∠EAD
即AD平分角BAC
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