Question

矩阵论（一）线性空间与线性变换

Answer 1

本人的矩阵论是在 [东南大学] 研究生课程 工程矩阵理论 进行学习，总结参考了b站的同学： 数学家是我理想 的博客： mathor
总结不会将所有知识点都罗列出来（实在是太耗时了），只总结一些重要的知识点。

线性空间是定义在数域 上满足某些运算规律的向量集合，而数域本身也是一种特殊的集合。
数域的定义：

线性空间的性质：

注：线性空间的基不一定存在

注：线性空间的基是有序的。

注：A一定为可逆矩阵。

证明：

例：在 中，求 在基
的坐标。

注：1.设 ，则 是 的子空间 关于线性运算封闭。
2.子空间一定含零向量。

假设 ，有

直和的性质：

直和的一般证明方式：
设 是线性空间 V的两个子空间,要证明 分为两步：
1. 是直和，通常用 }证明
2.证明 。
不证自明， 则通过 ，找出关于 的在 和 的子空间向量,即能得证。

例： 定义为： 其中 求f在基 下的矩阵。

解：

证明：
令 则
为线性映射，

证毕。