Question

高二数学（立体几何）

三棱锥三条侧棱两两垂直，三侧面与底面所成的二面角分别为30度、45度、60度，底面积为1，则三棱锥的侧面积为？
答案是（根号3+根号2+1 ）/2
这道题用面积的射影定理怎么做？也就是用cos<a>=s/S的公式做
如图，射影定理是S三角形OAB/S三角形SAB=cos<30> 还是S三角形ABC/S三角形SAB=cos<30>??
图https://gss0.baidu.com/7LsWdDW5_xN3otqbppnN2DJv/%B0%D7%CD%C3%B6%B9%B6%B9/pic/item/33f73c4e0c9a7ddfd0c86afc.jpg

Answer 1

cos<a>=s/S
利用射影性质cos=射影面积/斜面积

所以cos30=1/S
S=根号3/2
同理有S=根号2/2
s=1/2
三个面积相加有：
S=（根号3+根号2+1 ）/2

射影定理是侧面面积比上整个底面面积=cos<a>

证明：分别对两个面的交线作垂直，可以有一个二面角，设为a
所以有：
cos(a)=侧面的高/底面的高
＝侧面面积/上整个底面面积(因为交线是相等的，而交线是他们的共同的底）

射影面积就是侧面在底面的射影面积

Answer 2

利用射影性质cos=射影面积/斜面积
三棱锥三条侧棱两两垂直，1看成斜面，三侧面当成射影，
三棱锥的侧面积为s＝（√3＋√2＋1）／2