2015年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷数学（文科）
一、选择题：每小题5分,共60分.
1、已知集合 ，则集合 中的元素个数为
（A） 5 （B）4 （C）3 （D）2
2、已知点 ，向量 ，则向量
（A） （B） （C） （D）
3、已知复数 满足 ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从 中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线 的焦点重合， 是C的准线与E的两个交点，则
（A） （B） （C） （D）
6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题："今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？"其意思为："在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）
（A） 斛 （B） 斛 （C） 斛 （D） 斛
7、已知 是公差为1的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
8、函数 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9、执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）
（A） （B） （C） （D）
10、已知函数 ，且 ，则
（A） （B） （C） （D）
11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 ，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
12、设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且 ，则 ( )
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分
13、数列 中 为 的前 n 项和，若 ，则$n = ___ .
14.已知函数 的图像在点 的处的切线过点 ，则 ___ .
15. 若 x , y 满足约束条件 ,则 的最大值为___．
16.已知 是双曲线 的右焦点， P 是 C 左支上一点， ，当 周长最小时，该三角形的面积为___．
三、解答题
17. （本小题满分12分）
已知 分别是 内角 的对边， .
（I）若 ，求
（II）若 ，且 求 的面积.
18. （本小题满分12分）
如图四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 交点， ，
（I）证明：平面 平面 ；
（II）若 ， 三棱锥 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积.
19. （本小题满分12分）
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润 z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费 和年销售量 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中 ， =
（I）根据散点图判断， 与 ，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费 x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ，根据（II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费 时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据 , ，......， ,其回归线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
20. （本小题满分12分）
已知过点 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C ： 交于 M ，N两点.
（I）求 k 的取值范围；
（II） ，其中 O 为坐标原点，求 .
21. （本小题满分12分）
设函数 .
（I）讨论 的导函数 的零点的个数；
（II）证明：当 时 .
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号
22. （本小题满分10分）
选修4-1：几何证明选讲
如图 AB 是 O 直径， AC 是 O 切线， BC 交 O 与点 E .
（I）若 D 为 AC 中点，求证： DE 是 O 切线；
（II）若 ，求 的大小.
23. （本小题满分10分）
选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线 ，圆 ，以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（I）求 的极坐标方程.
（II）若直线 的极坐标方程为 ，设 的交点为 ，求 的面积.
24. （本小题满分10分）
选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（I）当 时求不等式 的解集；
（II）若 图像与 x 轴围成的三角形面积大于6，求 a 的取值范围.
