Question

lim<(x^m-1)/(x^n-1)> (x->1,m,n为正整数）的极限？要过程

感谢你的启发和帮助，但答案是m/n，我自己再算算

Answer 1

分子分母极限都是0，这是0/0型
所以可以用洛必达法则
lim<(x^m-1)/(x^n-1)>
=lim<mx^(m-1)/nx^(n-1)>
=lim<m(m-1)x^(m-2)/n(n-1)x^(n-2)>
=……

若m=n
则显然极限等于1

若m>n
则lim<m(m-1)x^(m-2)/n(n-1)x^(n-2)>
=lim<m(m-1)……(m-n+1)x^(m-n)/n!
=m(m-1)……(m-n+1)/n!
=m!/[(n+1)!n!]

若m<n
则lim<m(m-1)x^(m-2)/n(n-1)x^(n-2)>
=lim<m!/n(n-1)……(n-m+1)x^(n-m)
=m!/[n!/(m+1)!]
=m!(m+1)!/n!

Answer 2

lim<(x^m-1)/(x^n-1)>
=lim<(x-1)[x^(m-1)+x^(m-2)+...+x+1]/(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1)>
=lim<[x^(m-1)+x^(m-2)+...+x+1]/[x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1)>
=(m-1)/(n-1)

x^m-1=(x-1)[x^(m-1)+x^(m-2)+...+x+1]
这个是公式来的
也可以用等比数列求和来推导

Answer 3

x^m-1=(x-1)(1+x+x^2+...+x^m-1)
所以原式=m/n