Question

原创七：折叠问题专题

Answer 1

记北师版八上数学教材第一章第三节《勾股定理的应用》习题课3。

折叠问题是近年陕西中考选择题当中的常考题型，所涉及考点主要有图形的性质、对称的性质和勾股定理的应用。经过前几课的学习，学生已经能较为熟练的运用勾股定理解决实际问题并初步接触了用方程思想结合勾股定理求直角三角形边长。在此基础上，本节课对折叠问题进行专题探究。

本课共设置了五道例题，前三道以矩形为背景，后两道以三角形为背景。

例1

讲授过程中几点注意：

1.引导学生逐句分析题目条件

由“长方形纸片”可知长方形ABCD4个角都是90度，对边平行且相等。由“折叠”学生想到对应边相等、对应角相等。这时追问“那么折叠前后的两个图形是什么关系？”有学生回答全等，也有学生想到对称。此处教师点拨——全等是对图形的大小和形状作限定；而对称是在全等的基础上对图形的位置再作要求。因此由“折叠”得对称，对应边角相等。问题求线段长，想到用勾股定理求直角三角形边长。

2.“角平分线”“平行”“等腰三角形”知二推一

由折叠的对称性得∠1=∠2，由矩形对边平行得∠2=∠3,所以∠1=∠3,推出 FA=FC（等角对等边）.

3.勾股定理求边长时计算可简化

在直角三角形ADF中，∠D=90°,  AF=25/4, DF=7/4, 可用勾股定理直接求AD。具体在计算AD时，数字带分母计算较复杂，可设AD为a/4，根据“把一组勾股数同时扩大相同的倍数，所得结果仍能构成直角三角形”，计算以“a，7，25”的直角三角形即可。a²=625-49=576. a<25且“四四一十六”，估计a=24，经验证，正确。

4.总结折叠问题大致思路

做题过程中用到了：长方形的性质、轴对称的性质和勾股定理，所求线段所在的直角三角形中已知两边，用勾股定理直接计算。

例2.

点拨：直角三角形中，已知一边和另两边关系（和差倍分均可），用方程思想结合勾股定理求解。

例3.

实际教学中，例3设置了两问

第（1）问与例二类似，让学生独立完成

第（2）问有一定难度，需教师引导

点拨：要求AM，而观察图形AM并不在直角三角形中，因此可以把求AM转化成求A'M。再观察A'M所在的三角形，虽然在图中可以找到一个小直角三角形，但是这个三角形的其余两边并不好表示，故放弃这个三角形。考虑题中是线段较多，所以设未知数，设A'M=y，则DM=9-y。又DB'=6, A'B'=9,这些线段都和MB'有关。因此想到连接MB', MB'是ΔDMB'和ΔA'MB'的公共边，是连接这两个三角形的桥梁。在两个三角形中，利用勾股定理分别表示DB'，而DB'=DB'，利用这个等量关系列方程。

由此得出：当两个直角三角形有公共边时，可利用公共边相等这组等量关系列方程解决问题。

例4

如图，已知三角形三边分别为3、4、5。折叠使AB落在AC边上，点B落在点E处。求CE和CD的长度。

这道题有一个容易遗漏的细节，即用3、4、5这组勾股数先判定直角三角形。

第（1）问较简单，多数学生可独立完成。

第（2）问与例2类似，用方程思想结合勾股定理求线段长。

做完之后，教师可以口述再加一问：求ΔACD的面积，学生自然会和第二文联系起来。由此说明：求面积的问题往往转化为求线段长，考察的还是勾股定理。

例5

有了例4中第（3）问的过渡,学生容易想到求线段长。由勾股定理推出AB=10，由折叠推出BC'=6，得AC'=4且DC'⊥AB。要求ΔAC'D的面积，只需求DC'即可。利用方程思想、勾股定理可求。

除了求线段长，这道题还可以用面积比的方法解决。ΔBCD与ΔBC'D对称，面积相等。ΔAC'D与ΔBC'D共高，面积比等于底之比，而它们的底分别为4和6。可设三个三角形面积分别为2a、3a、3a（如图），它们的面积和为24。所以8a=24,  2a=6.

如此，遇到折叠问题，可以想到利用勾股定理求线段长、求面积；还可跳出勾股定理，利用比例等其他方法解决问题。