Question

第四讲 一元微分函数微分

Answer 1

在微分学诞生之前有一个问题，一个房间里的室内温度为20°C，5分钟之后室内温度变为25°C。那么这个房间的室内温度5分钟的平均变化率就是1°C/min。
但是，这样的计算却存在一个问题，比如一年前此房间的室内温度为t °C，一年后这个房间的室内温度在同一时刻也为t °C，按照之前的计算方式，那么这个房间的室内温度平均变化率为0，显然，这个结果并没有任何价值。

因为平均变化率这个概念太过于“粗糙”，人们便让 ，也就是让时间差成为无穷小数，记为 ，则 即可表达这个房间室内温度的瞬时变化率，这就是导数函数

导数函数的几何意义：曲线切线的斜率

导数的定义：
或者：

可导（或者说是导数存在）的充分必要条件是左导数和右导数相等

导数不存在情况：

将一个正方形的边长增加

其面积增量
这个增量可以分成两个部分
当 的时候，这个增量也可以写成:

也就是说 是增量的主要部分（称为线性主部），而 是增量的误差（ 趋近零的速度比 快得多）
增量中的主要部分(上例中的 )被称为微分

微分：

微分的核心思想就是用直线来取代曲线

上图中的红色的曲线和红色的直线之间的差别只在于一个高阶无穷小

一阶微分形式不变：

故：

分段函数的导数问题 ：

复合函数的导数问题 ：

导数零点定理 ：若 那么， 必然恒为正或者恒为负

原函数导数与反函数导数的关系 ：

微分的幂：
幂的微分：

典型的求导实例：


变限积分函数求导：

参数方程求导:
一阶求导： ，记为
二阶求导：

隐函数求导 ：
设函数y=y(x)是由方程F(x,y)=0确定的可导函数，则
第一步：F(x,y)两边对x进行求导，将y=y(x)看作一个中间变量，得到一个关于y'的方程
第二步：解方程得到y'

幂指函数求导： ( )

高阶导数：
有三种方法：