Question

雷达信号处理基础-傅里叶变换

Answer 1

首先，思考一个问题， 关于傅里叶变换这个工具，有什么用？

对于这个问题，在雷达中，我们一般得到的回波里面不仅仅有目标，还有大量的杂波和其他干扰，我们利用频域的表示将这些信号和干扰等等进行分离，而傅里叶变换就是把回波信号放在频域中的工具，除了对信号和干扰进行分离外，还有一些其他的目的，比如多普勒频移，成像等等。

连续变量信号的傅里叶变换主要涉及一些采样需求的分析，考虑一个一维连续信号，其在时域内表示为x(t)，其傅里叶变换为X(Ω)，

可以给出其逆变换为

其中，频域内变量Ω即为角频率，单位为rad/s,另外，如果我们之前考虑的信号不是时域中，而是放在空域进行考虑，那么此时的频域内变量Ω则为空间频率，若空间变量的单位为m,空间频率的单位就对应为rad/m。

一种是类似连续变量傅里叶变换的形式，考虑一维离散变量信号 ,它的傅里叶变换对可以表示为：

上面的式子中，ω是归一化的连续频率变量，它的单位是rad,归一化频率ω和常规的频率Ω之间的对应关系为：

其中Ts为采样间隔。上述的X(ω)即为x[n]的离散时间傅里叶变换(DTFT),可以发现，X(ω)在频率变量ω上是连续的，周期为2π rad,也就是说DTFT每2π rad重复一次。

虽然对于所有的ω，DTFT都是有定义的，但是我们通常只讨论它的主值周期，即-π≤ω<π。

但是，我们不可能对无限多的连续频率变量ω去求X(ω),这里定义了离散傅里叶变换(DFT)，只取有限长度的离散变量信号，比如，现在取了离散信号x[n]的N点，其DFT的变换对可以表示为：

可以发现，如果对离散信号x[n]做N点采样，得到的X[k]为N个均匀分布在其DTFT主值周期上的采样。

题图：Ignotus the Mage 来自网络