Question

向量垂直怎么求解？

Answer 1

x1*x2+y1*y2=0和|A|*|B|*cos（A与B的夹角）=0。

一、

①几何角度关系：
向量A=（x1，y1）与向量B=（x2,y2）垂直则有x1*x2+y1*y2=0

②坐标角度关系：
A与B的内积=|A|*|B|*cos（A与B的夹角）=0 

二、

证明：

①几何角度：

向量A (x1,y1),长度 L1 =√(x1²+y1²)

向量B (x2,y2),长度 L2 =√(x2²+y2²)

（x1,y1）到(x2,y2)的距离：D=√[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²]

两个向量垂直,根据勾股定理：L1² + L2² = D²

∴ (x1²+y1²) + (x2²+y2²) = (x1 - x2)² + (y1 - y2)²

∴ x1² + y1² + x2² + y2² = x1² -2x1x2 + x2² + y1² - 2y1y2 + y2²

∴ 0 = -2x1x2 - 2y1y2 

∴ x1x2 + y1y2 = 0 

②扩展到三维角度：x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0,那么向量(x1,y1,z1)和（x2,y2,z2）垂直

综述，对任意维度的两个向量L1,L2垂直的充分必要条件是:L1×L2=0 成立。

扩展资料：

向量垂直证线面垂直：

设直线l是与α内相交直线a，b都垂直的直线，求证：l⊥α
证明：设a，b，l的方向向量为a，b，l

∵a与b相交，即a，b不共线
∴由平面向量基本定理可知，α内任意一个向量c都可以写成c= λa+ μb的形式

∵l⊥a，l⊥b
∴l·a=0，l·b=0

l·c=l·（λa+ μb）=λl·a+ μl·b=0+0=0
∴l⊥c

设c是α内任一直线c的方向向量，则有l⊥c
根据c的任意性，l与α内任一直线都垂直。

参考资料：百度百科-向量