Question

如题，二重积分为什么是r？

Answer 1

r代表“半径”，在极坐标中长度r和角度θ能确定某点的位置，即坐标。

解：

∵D区域是以(0,1)为圆心、半径为1的圆，且经过原点(0,0)

∴以原点为极点建立极坐标，可以方便处理

设x=rcosθ，y=rsinθ

代入题设条件，有0≤θ≤π，0≤r^2≤2rsinθ

∴D={(r,θ)丨0≤r≤2sinθ，0≤θ≤π}。

意义：

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。