Question

设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),1.求f(x)的表达式 2.

设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),1.求f(x)的表达式 2.若g(x)=f(x)-(4a+3)x+a^2,x∈[0,1]（a为字母系数），求g(x)的最小值h(a)的值域。

Answer 1

取y=x,代入f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1):
f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1)
即 1=f(x)-x^2-x
移项得 f(x)=x^2+x+1

上述表达式代入g(x)：
g(x)=x^2-(4a+2)x+a^2+1
配方后得 g(x)=(x-2a-1)^2-(3a^2+4a)
说明g(x)是一条顶点在(2a+1,-3a^2-4a)的向上开口抛物线。

当2a+1<=0（即a<=-1/2)时抛物线在x∈[0,1]时上升，最小值
h(a)=g(0)=(0-2a-1)^2-(3a^2+4a)=a^2+1
抛物线h(a)=a^2+1在a<=-1/2时的值域[5/4,∞)

当2a+1>=0且2a+1<=1（即-1/2<=a<=0)时抛物线顶点在x∈[0,1]时上升，最小值
h(a)=-3a^2-4a
抛物线h(a)=-3a^2-4a顶点在(-2/3,5/3),在[-1/2,0]时下降，h(a)值域为[h(0),h(-1/2)]为[0,5/4]

当2a+1>=1（即a>=0)时抛物线在x∈[0,1]时下降，最小值
h(a)=g(1)=(1-2a-1)^2-(3a^2+4a)=a^2-4a
抛物线h(a)=a^2-4a顶点在(2,-4),在a>=0时的值域[-4,∞)

所以h(a)的值域为[-4,∞)