Question

已知M为椭圆上一点,F1,F2是其焦点,∠MF1F2=α,∠MF2F1=β,椭圆的离心率为e,求证e=sin(α+β)/sinα+siβ

Answer 1

解：
由题意有∠F1MF2=π-α-β
因为sin(α+β)=sin（π-α-β）
由正弦定理有：
F1F2/sin(α+β)=MF1/sinβ=MF2/sinα
所以F1F2/sin(α+β)=（MF1+MF2）/（sinβ+sinα）
即
sin(α+β)/（sinα+sinβ）=F1F2/（MF1+MF2）=2c/2a=e

Answer 2

由题意有∠F1MF2=π-α-β
因为sin(α+β)=sin（π-α-β）
由正弦定理有：
F1F2/sin(α+β)=MF1/sinβ=MF2/sinα
所以F1F2/sin(α+β)=（MF1+MF2）/（sinβ+sinα）
即
sin(α+β)/（sinα+sinβ）=F1F2/（MF1+MF2）=2c/2a=e