Question

如图，已知∠AOB （ 1）用直尺和圆规按下列要求作图: ①作∠AOB的平分线OC；②在OC上取一点P，过点P作OC

如图，已知∠AOB
（1）用直尺和圆规按下列要求作图:
①作∠AOB的平分线OC；
②在OC上取一点P，过点P作OC的垂线，分别交OA、OB于点E、F。
（2）图中PE、PF相等吗，请证明。

Answer 1

（1）

①

以O为圆心，适当长度为半径画圆弧，交OA、OB于D、G

分别以D、G为圆心，大于DG/2的长度为半径画圆弧，交于C，连接OC，OC就是所求的∠AOB的平分线

②

以P为圆心，适当长度为半径画圆弧，交OC于H、I

分别以H、I为圆心，以大于PH长度为半径画圆弧，相交于J。

连接J、P，直线JP分别与OA、OB交于E、F。

E、F就是所求的点。

（2）PE、PF相等。

证明：

由作图过程知，OD=OG，CD=CG，OC公用，

∴ △OCD≌△OGC，∴∠AOC=∠COB，即OC是∠AOB的角平分线。

由作图过程知，IP=PH，IJ=HJ，JP公用

∴△IJP≌△KJP，∴∠IPJ=∠HPJ

∵ ∠IPJ+∠HPJ=180°，∴∠HPJ=90°，即EF⊥OC

∵ ∠AOC=∠COB，∠IPJ=∠HPJ，OP公用

∴ △OPE≌△OPF，∴PE=PF

证毕。