Question

泰勒公式是否可以直接运用于求极限？

Answer 1

泰勒公式求极限错误用法如：忽略极限为无穷的两个极限不能相减。

利用泰勒公式求极限，对于复杂因式，也可以用泰勒展开式化成多项式，这样一来就能很好地化简。方法虽多，但解题时往往需要多种方法综合使用，才能将复杂的表达式转换成简单的表达式，从而很容易地求极限。

泰勒公式在求函数极限时有很高的效率，原因在于应用泰勒公式可以方便地求出函数的主项，如 sin x 和 tan x 的主项都是 x，而 tan xㄧsin x 的主项为 (x^3)/2，应用泰勒公式可以方便地求出函数的主项，许多复杂的函数极限问题，应用泰勒公式都可以完美解决。

泰勒定理的重要性

在物理学中，当需要用一个函数在附近一点的值来表示它在某一点的确切值时，泰勒定理便发挥了其作用。在物理中，线性近似通常就足够了，因为我们可以假设一个长度尺度，在这个尺度上，ε的二阶和更高阶是不相关的。

例如，如果在某一点x，同学们知道f(x)的值，我们也知道f ' (x)的值，那么同学们可以通过在斜率为f ' (x)的点(x,f(x))上画一条直线来估计f(x+ε)。