Question

证明limx趋向于1（x-1）/（x^2-1）=1/2

Answer 1

解：
lim(x->1) (x-1)/(x^2-1)
=lim(x->1) (x-1)/[(x+1)(x-1)] (平方差公式)
=lim(x->1) 1/(x+1) (约分)
=1/(1+1)
=1/2

追问

我的意思用定义证明，不是求

追答

OK,那就用定义证明。不过用定义法肯定会麻烦一点，我慢慢给你写。

函数极限的定义参考百度百科，如下：

设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多

么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
|f(x)-A|<ε
那么常数A就叫做函数f(x)当 x→x。时的极限。

对于这道题，A=1/2,x。=1。
证明过程如下：
对任意给定的正数ε，总存在正数δ=4ε/(1+2ε),
当0<|x-1|<δ 时,
即(1-2ε)/(1+2ε)<x<1或1<x<(1+6ε)/(1+2ε) 。
|f(x)-A|
=|(x-1)/(x^2-1)-1/2|
=|(x-1)/[(x-1)(x+1)]-1/2|
=|1/(x+1)-1/2|

当(1-2ε)/(1+2ε)<x<1时，
|1/(x+1)-1/2|
=1/(x+1)-1/2
<1/((1-2ε)/(1+2ε)+1)-1/2
=1/(2/(1+2ε)-1/2
=(1+2ε)/2-1/2
=2ε/2
=ε ；
当1<x<(1+6ε)/(1+2ε)时，
|1/(x+1)-1/2|
=1/2-1/(x+1)
<1/2-1/((1+6ε)/(1+2ε)+1)
=1/2-1/((2+8ε)/(1+2ε))
=1/2-(1+2ε)/(2+8ε)
=1/2*[1-(1+2ε)/(1+4ε)]
=1/2*(2ε)/(1+4ε)
=ε/(1+4ε)
<ε
综上，当0<|x-1|<δ=4ε/(1+2ε) 时,
|f(x)-1/2|<ε恒成立。
根据定义，f(x)在x趋近于1时的极限是1/2，
证毕。

参考资料：http://baike.baidu.com/link?url=JOJcfsyWGvbmLm8Vw066lCxBtJgdM7R3E7Bwrh_D4hyF1dz1GnzkPZgN78W5RP1Y#sub5120727