Question

已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y-4）2=1的圆心为点M．

Answer 1

解题思路：（1）圆心M（0，4），抛物线C 1的准线为y=-[1/4]，易求距离；
（2）设P（x 0，x 0 2），A（x 1，x 1 2），B（x 2，x 2 2），设过点P的圆C 2的切线方程为y-x 0 2=k（x-x 0），即kx-y-kx 0+x 0 2=0①，则d=r=1⇒（ x 0 2-1）k 2+2 x 0（4-x 0 2）k+（ x 0 2-4） 2-1=0，设PA，PB的斜率为k 1，k 2（k 1≠k 2），则k 1，k 2是上述方程的两根，联立①与x 2=y得x 2-kx+kx 0-x 0 2=0，由韦达定理及k AB•K MP=-1可求得x 0，进而得到点P坐标；

（1）圆心M（0，4），抛物线C1的准线为y=-[1/4]，
∴点M到抛物线C1的准线的距离为4-（-[1/4]）=[17/4]．
（2）设P（x0，x02），A（x1，x12），B（x2，x22），
则由题意得x0≠0，x0≠±1，x1≠x2，
设过点P的圆C2的切线方程为y-x02=k（x-x0），即kx-y-kx0+x02=0①，
则d=r=1⇒（ x02-1）k2+2 x0（4-x02）k+（ x02-4）2-1=0，
设PA，PB的斜率为k1，k2（k1≠k2），则k1，k2是上述方程的两根，
∴k1+k2=
2x0(x02−4)
x02−1，k1•k2=
(x02−4)2−1
x02−1，
将①代入x2=y得x2-kx+kx0-x02=0，
由于x0是此方程的根，点A或B是过点P作圆C2的两条切线与抛物线C1相交的交点，
故x0+x1=k1，x0+x2=k2，⇒x1=k1-x0，x2=k2-x0，
∴kAB=
x12−x22
x1−x2=x1+x2=k1+k2-2x0=
2x0(x02−4)
x02−1-2x0，
又KMP=
x02−4
x0，
∵MP⊥AB，∴kAB•KMP=[
2x0(x02−4)
x02−1-2x0]•（
x02−4
x0）=-1，
⇒
−6x0

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查抛物线圆的方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查方程思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，综合性强，难度大．