Question

已知AD与BC相交于点O （1）如图①，AD、BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，求证：∠A+∠B=∠C+∠D.

（2）如图②，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，问∠A,∠C,∠E之间的关系

Answer 1

证明：
∵∠A+∠B+∠AOB=180º【三角形内角和180º】
∠C+∠D+∠COD=180º【三角形内角和180º】
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD【等量代换】
∵∠AOB=∠COD【对顶角相等】
∴∠A+∠B=∠C+∠D【等量减等量，差相等】

2.
不妨设BE与AD，DE与BC分别交于M、N两点。
根据三角形的外角等于两个内角和公式，可以得到，∠EMD=∠AMB=180°-（∠A + ½ ∠B) , ∠ENB=∠CND=180°-（∠C+½ ∠D）,∠AFC=∠A+½∠B ，
四边形内角和为360°，即有∠E+∠EMD+∠ENB+∠AFC=360° ，
把等式代入得到，∠E+180°-（∠A + ½ ∠B) +（∠C+½ ∠D）+∠A+½∠B=360°。
化简得，∠E+½∠B- ½ ∠D - ½ ∠C=0，
根据问题一，∠A+∠B=∠C+∠D，有∠B-∠D=∠C-∠A，
代入移向可以得证∠E=½（∠A+∠C）。

追问

第二题呢？

追答

∠E=½（∠A+∠C）

已经回答了啊

追问

不是很详细的样子呢
╮(╯▽╰)╭，算了我自己想吧

追答

不妨设BE与AD，DE与BC分别交于M、N两点。
根据三角形的外角等于两个内角和公式，可以得到，∠EMD=∠AMB=180°-（∠A + ½ ∠B) , ∠ENB=∠CND=180°-（∠C+½ ∠D）,∠AFC=∠A+½∠B ，
四边形内角和为360°，即有∠E+∠EMD+∠ENB+∠AFC=360° ，
把等式代入得到，∠E+180°-（∠A + ½ ∠B) +（∠C+½ ∠D）+∠A+½∠B=360°。
化简得，∠E+½∠B- ½ ∠D - ½ ∠C=0，
根据问题一，∠A+∠B=∠C+∠D，有∠B-∠D=∠C-∠A，
代入移向可以得证∠E=½（∠A+∠C）。