Question

解一元三次方程

Answer 1

解一元三次方程如下：

一般用尔丹公式法。

特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)。

判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。

卡尔丹公式：

X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3);

X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2;

X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，

其中ω=(-1+i3^(1/2))/2;

Y(1,2)=-(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。

标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0，(a，b，c，d∈R，且a≠0)。

令X=Y-b/(3a)代入上式。

可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。

卡尔丹判别法：

当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。

当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根。

当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。

一元三次方程的介绍：

人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。 在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。