矩阵秩的性质
矩阵秩的性质如下：
1. max[R(A),R(B)]⩽R(A,B)⩽R(A)+R(B) ，特别的，当 B=b 为非零列向量时，有 R(A)⩽R(A,b)⩽R(A)+1
推导过程：
的最高阶非零子式总是的非零子式同理可知，令，且令，则，和中分别含有个和个非零行从而可知，中最大非零行个数为综上所述，∵A的最高阶非零子式总是(A,B)的非零子式∴R(A)⩽R(A,B)同理可知，R(B)⩽R(A,B)∴max[R(A),R(B)]⩽R(A,B)令，(A,B)→(A′,B′)A→A′B→B′且令，R(A′)=rR(B′)=t则，A′和B′中分别含有r个和t个非零行从而可知，(A′,B′)中最大非零行个数为r+t∴R(A,B)=R(A′,B′)⩽R(A′)+R(B′)=R(A)+R(B)综上所述，max[R(A),R(B)]⩽R(A,B)⩽R(A)+R(B)
2. R(A+B)⩽R(A)+R(B)R(A+B)⩽R(A+B,B)=R(A,B)⩽R(A)+R(B)
推导过程：
设为矩阵则对矩阵作初等行变换由秩的性质一可知，设A,B为m×n矩阵则对矩阵(A+BB)作初等行变换ri−rm+i(i=1,2,⋯,m/2)∴(A+BB)→r(AB)由秩的性质一可知，R(A+B)⩽R(A+BB)=R(AB)=R(AT,BT)T=R(AT,BT)⩽R(AT)+R(BT)=R(A)+R(B)
3. R(AB)⩽min[R(A),R(B)]
推导过程：
设可知矩阵方程有解根据矩阵方程定理六（矩阵方程有解的充分必要条件是）可知而由秩的性质一可知故，又可知矩阵方程有解根据矩阵方程定理六（矩阵方程有解的充分必要条件是）可知而由秩的性质一可知故，又且综上所述，设AB=C可知矩阵方程AX=C有解X=B根据矩阵方程定理六（矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)）可知R(A)=R(A,C)而由秩的性质一可知max[R(A),R(C)]⩽R(A,C)⩽R(A)+R(C)故，R(C)⩽R(A,C)∴R(C)⩽R(A)又∵(AB)T=BTAT=CT可知矩阵方程BTX=CT有解X=AT根据矩阵方程定理六（矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)）可知R(BT)=R(BT,CT)而由秩的性质一可知max[R(BT),R(CT)]⩽R(BT,CT)⩽R(BT)+R(CT)故，R(CT)⩽R(BT,CT)∴R(CT)⩽R(BT)又∵R(B)=R(BT)且R(CT)=R(C)∴R(C)⩽R(B)综上所述，R(C)⩽min[R(A),R(B)]
4.若 Am×nBn×l=O ，则 R(A)+R(B)⩽n
推导过程：
记又因故即，该方程表明为齐次方程的解设为齐次方程的解集则，故，由秩的定理七可知（定理七：设矩阵的秩，则元齐次线性方程组的解集的秩），得证
