Question

设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x^2.若对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x

设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x^2.若对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+1)≥2f(x)恒成立，求t的范围

Answer 1

因为是奇函数，所以在x<0时，f(x)=-x^2.

当x≥0时，f(x+1)=(x+1)^2=x^2+2x+1; 2f(x)=2x^2;
f(x+1)-2f(x)=-x^2+2x+1=(x+1)^2-2x^2=(x+‎√2x+1)(x-‎√2x+1)≥0；-1/(1+‎√2) ≤ x≤ 1/(‎√2-1);但由于此时x是大于等于0的，所以此时只取0≤x≤ 1/(‎√2-1)。
当x≤-1时，f(x+1)=-(x+1)^2;2f(x)=-2x^2;
f(x+1)-2f(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2=(x-1+√2)(x-1-√2)≥0； x≥√2+1或者x≤1-√2；但由于此时x是小于等于0的，所以只取x≤1-√2。
当-1≤x≤0时，f(x+1)=x^2+2x+1;2f(x)=-2x^2
f(x+1)-2f(x)=3x^2+2x+1=(x+1)^2+2x^2，恒大于等于0.

所以上述不等式要恒成立，x的取值范围是0≤x≤ 1/(‎√2-1)或者x≤1-√2。这之后t的值就很好确定，只要让[t，t+2]处在上述的区域内就可以了。t的范围有[0,[(1/(√2-1)]-2]并t≤-1-√2。

上述是主要的思路，因为没有演算，所以具体计算可能有错误，请注意判断。

Answer 2

解：当x≥0时，f（x）=x2
∵函数是奇函数∴当x＜0时，f（x）=-x2
∴f（x）=x2 x≥0-x2 x＜0，
∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足3f（x）=f（3
x），
∵不等式ff（x+t）≥3f（x）=f（3x）在[t，t+3]恒成立，
∴x+t≥3x在[t，t+3]恒成立，即：t≥(3-1)x在[t，t+3]恒成立，
∴t≥(3-1)(t+3)，∴t≥3+33
故选A．