在三角形ABc中AB=Ac,D是三角形ABC外一点,且<ABD=<AcD=60度求证,AB=BD+
在三角形ABc中AB=Ac,D是三角形ABC外一点,且<ABD=<AcD=60度求证,AB=BD+DC...
在三角形ABc中AB=Ac,D是三角形ABC外一点,且<ABD=<AcD=60度求证,AB=BD+DC
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证明:延长BD到E,使DE=DC,连接AE、CE
∵∠ABD=∠ACD=60°
∴ABCD四点共圆
∴∠BDC=∠BAC=(1/2)弧BC
∴∠CAD=∠CBD=(1/2)弧CD
∴∠ADB=∠ACB=(1/2)弧AB
在△ADC和△ADE中
∠ADC= ∠ACB+∠BAC
∠ADE=∠ABE+∠BAD
=∠ABE+∠BAC+∠CAD=∠ABE+∠CBD+∠BAC
=∠ABC+∠BAC
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∴∠ADC=∠ADE
∵CD=DE(已做)
AD=AD(公共边)
∴△ADC≌△ADE
∴AE=AC
∴AE=AB
∴△ABE是等边三角形
∴BE=AB
∵BE=BD+DE=BD+DC
∴AB=BD+DC
∵∠ABD=∠ACD=60°
∴ABCD四点共圆
∴∠BDC=∠BAC=(1/2)弧BC
∴∠CAD=∠CBD=(1/2)弧CD
∴∠ADB=∠ACB=(1/2)弧AB
在△ADC和△ADE中
∠ADC= ∠ACB+∠BAC
∠ADE=∠ABE+∠BAD
=∠ABE+∠BAC+∠CAD=∠ABE+∠CBD+∠BAC
=∠ABC+∠BAC
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∴∠ADC=∠ADE
∵CD=DE(已做)
AD=AD(公共边)
∴△ADC≌△ADE
∴AE=AC
∴AE=AB
∴△ABE是等边三角形
∴BE=AB
∵BE=BD+DE=BD+DC
∴AB=BD+DC
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