Question

二次型的正定性如何证明？

Answer 1

首先f≥0，若f=0有非零解就和题意矛盾了，也不符合正定f＞0的定义，所以f=0只有零解。

按照正定的概念，对于任意不为零的向量X都有f（X）>0，由于原表达式已经是平方和的形式，所以肯定大于等于零，于是你只需要再证明当X不为零时，f（X）不等于零。

题中只有零解的意思是，只有当X=0时f（X）才会等于零，言下之意，X不为零时f（X）就不会等于零，又因为前面说了它大于等于零，所以就只有大于零了。

二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。

柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。

Answer 2

二次型的正定性是指一个二次型形如 $x^TAx$（其中 $A$ 是一个 $n$ 维对称矩阵）对所有非零向量 $x$ 都大于等于 0。
要证明二次型的正定性，我们可以使用下面的公式：
如果 $A$ 是正定矩阵，则二次型 $x^TAx$ 始终大于等于 0。
如果 $A$ 是半正定矩阵，则二次型 $x^TAx$ 始终大于等于 0，除非 $x=0$。
如果 $A$ 是负定矩阵，则二次型 $x^TAx$ 始终小于等于 0。
因此，我们可以通过判断矩阵 $A$ 的特征值来证明二次型的正定性。如果矩阵 $A$ 的所有特征值都大于等于 0，则 $A$ 是正定矩阵，二次型 $x^TAx$ 也是正定的。如果矩阵 $A$ 的所有特征值都大于等于 0，但存在 0 特征值，则 $A$ 是半正定矩阵，二次型 $x^TAx$ 也是半正定的。如果矩阵 $A$ 存在负特征值，则 $A$ 是负定矩阵，二次型 $x^TAx$ 也是负定的。
举个例子，如果矩阵 $A$ 的特征值分别为 3、2、1 和 0，则 $A$ 是半正定矩阵，因此二次型 $x^TAx$ 是半正定的。如果矩阵 $A$ 的特征值分别为 3、2 和 -1，则 $A$ 是负定矩阵，因此二次型 $x^TAx$ 是负定的。