Question

关于数列极限的 已知数列an满足a1=0 a2=1 an=(an-1+an-2)/2 求lim(n->无穷）an

Answer 1

把an的通项求出来
an=(an-1+an-2)/2 化简得 2an-a(n-1)-a(n-2)=0
特征方程法你知道吗,不知道的话去看一下递归数列的知识；
稍微解释一下,当我们知道an,a(n-1),a(n-2)的关系时候,它们前面的系数就是特征方程的系数,如2an-a(n-1)-a(n-2)=0,它的特征方程是
2x^2-x-1=0 x1=1 x2=-1/2
令an=k*1^n+b*(-1/2)^n 已知 a1,a2 用待定系数法
k-0.5b=0 k+0.25b=1 解得 k=2/3 b=4/3
an=2/3+4/3*(-1/2)^n (不信验a3)
lim(n→+∞) an=lim(n→+∞)2/3+4/3*(-1/2)^n=2/3
做完了才发现,楼上的方法比我简单,但是有些不严密,因为如果an没有极限,那么也就不存在A,楼上的方法是如果存在极限,则极限是2/3,那如果没有极限呢?