x^3+px+q=0 x1,x2,x3是方程的3个解. 则 x1+x2+x3=?
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x1^3+px1+q=0 (1)式
x2^3+px2+q=0 (2)式
(1)式-(2)式,得
=> (x1-x2)(x1^2+x1*x2+x2^2)+p(x1-x2)=0
=> (x1-x2)(x1^2+x1*x2+x2^2+p)=0
因为x1不等于x2,所以
x1^2+x1*x2+x2^2+p=0 (3)式
同理
x2^2+x2*x3+x3^2+p=0 (4)式
(3)式-(4)式,得
x1^2-x3^2+x2*(x1-x3)=0
=> (x1-x3)(x1+x2+x3)=0
因为x1不等于x3,所以
x1+x2+x3=0
x2^3+px2+q=0 (2)式
(1)式-(2)式,得
=> (x1-x2)(x1^2+x1*x2+x2^2)+p(x1-x2)=0
=> (x1-x2)(x1^2+x1*x2+x2^2+p)=0
因为x1不等于x2,所以
x1^2+x1*x2+x2^2+p=0 (3)式
同理
x2^2+x2*x3+x3^2+p=0 (4)式
(3)式-(4)式,得
x1^2-x3^2+x2*(x1-x3)=0
=> (x1-x3)(x1+x2+x3)=0
因为x1不等于x3,所以
x1+x2+x3=0
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