Question

线性代数中的极大无关组如何求解？

Answer 1

算出a、b之后，可以把A化简得到以下结果：

这里找极大线性无关组，可以采用画阶梯的方法，在每个台阶上上找一个向量，最后组成的向量组就是极大线性无关组。这里第一个台阶上找一个，只有α1；第二个台阶上找一个，α2、α3、α4三个里面任意找一个均可。所以最后极大线性无关组可以是：α1,α2，或α1,α3，或α1,α4。

含义：

因为线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组，所以一向量组线性无关的充分必要条件为它的秩与它所含向量的个数相同。每一向量组都与它的极大线性无关组等价。由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价。所以，等价的向量组必有相同的秩。

含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个无关的部分向量组都能扩充成一个极大线性无关组。全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组，规定这样的向量组的秩为零。

Answer 2

在求解线性代数中的极大无关组时，可以使用高斯-约旦消元法来化简增广矩阵，并找出其中的基础变量与自由变量。最终的极大无关组就由基础变量对应的列向量所组成。

具体步骤如下：

1.将系数矩阵和常数列合并，得到增广矩阵。

2.对增广矩阵进行高斯-约旦消元，将其转化为行简化阶梯形矩阵。

3.找到最左边的首项系数非零的行，该行所对应的列向量为基础变量。

4.使用该行的主元项来消元其他行中的相应位置，以使该位置的系数为零。

5.重复步骤3和4，直到所有的基础变量都被确定。

6.剩余的列向量为自由变量，构成极大无关组。

需要注意的是，在高斯-约旦消元过程中，可能会出现一些特殊的情况，例如某行全为零或某行只有一个非零元素等，此时需要进行特殊处理。