Question

求证两道初等数论题

若a,b,n均为正整数证明：gcd（a^n,b^n)=gcd(a,b)^n
若a,b,c均为非零整数，且ab互素，证明：gcd(ac,b)=gcd(c,b)

Answer 1

二、（c,b)＝(c(a,b),b)=(ca,cb,b)=(ca,b)
一、设d=(a,b), a＝ud, b=vd,其中(u,v)=1
右边＝d^n，利用一的结论有：
左边＝d^n(u^n,v^n)=d^n(u^(n-1),v^n)=d^n(u^(n-2),v^n)...=d^n(1,v^n)=d^n
成立。