Question

证明：1^3+2^3+3^3+……+n^3=（1+2+3+……+n)^2

Answer 1

分类: 教育/科学 >> 科学技术
解析:

一般方法可以证明但是相当繁琐

证明如下(n+1)^4-n^4==4n^3+6n^2+4n+1 ∴n^3==(1/4)[(n+1)^4-n^4]-(3/2)n^2-n-1/4

∴左边==∑i^3==(1/4)[(n+1)^4-1]-(3/2)*(1/6)n(n+1)(2n+1)-(1/4)n-(n+1)n/2==(1/4)(n^4+4n^3+6n^2+4n-2n^3-3n^2-n-n)-(1/2)(n^2+n)==(1/4)(n^4+2n^3+n^2)==[(1/2)n(n+1)]^2==(1+2+3+…+n)^2

附注:这里用了另一个公式∑i^2==(1/6)n(n+1)(2n+1)

证明如下:(n+1)^3-n^3==3n^2+3n+1 ∴n^2==(1/3)[(n+1)^3-n^3]-n-1/3

∴∑i^2==(1/3)[(n+1)^3-1]-(1/2)n(n+1)-n/3==...==(1/6)n(n+1)(2n+1)