二重积分极坐标计算方法

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百度网友2066311
2023-01-10 · 超过110用户采纳过TA的回答
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极坐标一般用于积分域是圆或其中一部分的,积分域用极坐标表示比直角坐标表示明显简单的,积分函数含有 x^2+y^2,特别是含有它们的分数方次的情况。

例如以下两种情形通常的二重积分使用极坐标计算:

1、积分区域D与圆有关(可以是部分圆域,例如圆周与直线所围成的区域)。

2、被积函数f(x,y)中含有形如x²+y²,xy,y/x,x/y的式子。

若1、2同时满足,则必定要采用极坐标计算,但如果仅满足其中一个,特别是1不满足时,有时用直角坐标计算反而更方便。

由于极坐标的坐标系统是基于圆环的,所以许多有关曲线的方程,极坐标要比直角坐标系(笛卡儿坐标系)简单得多。比如双纽线,心脏线。

极坐标的玫瑰线(polar rose)是数学曲线中非常著名的曲线,看上去像花瓣,它只能用极坐标方程来描述;极坐标方程经常会表现出不同的对称形式,如果ρ(−θ)= ρ(θ),则曲线关于极点(0°/180°)对称,如果ρ(π-θ)= ρ(θ),则曲线关于极点(90°/270°)对称,如果ρ(θ−α)= ρ(θ),则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。

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