Question

请数学高手帮忙解答数学题，求解题步骤,谢谢~

1. 判别级数∑（∞，n=1）（1000）^n/n!的敛散性
2. 求幂级数∑（∞，n=1）（n+1）^n*x^n/n!的收敛半径
3. 幂级数∑（∞，n=0）n*4^(n+1)*x^(n)的收敛区间是什么？

Answer 1

1. 令an=原级数，则由柯西判别法，有  n√an→0（n→∞），∴原级数收敛（an中n为下标，下同；n√an即an开n次方根）；

2. 令an=原级数，则 |an+1∕an|=(n+2)^(n+1)∕(n+1)^(n+1)→1 (n→∞),即原级数的收敛半径为1（an+1中n+1为下标，下同）；

3. 同2.，有 |an+1∕an|=4*（n+1）/n→4(n→∞),∴收敛半径为1/4，又∵x=1/4时，原级数=4n发散，x=-1/4时，原级数=（-1）^n*4n亦发散，∴原级数收敛区间为（-1/4,1/4)。