Question

如何计算曲线的长度？

Answer 1

对于一条连续的、光滑的曲线，根据定积分的几何意义，很容易计算曲线与x轴所围成的区域的面积，但如何计算曲线的长度呢？

1.直角坐标曲线曲线f(x)为一条在区间[a,b]上连续且光滑的曲线，如图1所示。

在求曲线的长度前，解释一个概念。所谓光滑的函数曲线，意思就是函数在一段区间内存在一阶导数。

根据微分的思想，一段曲线的长度可以分割成无数条短曲线的和。

现在用n-1个数将区间[a,b]分割成n个子区间。，每个子区间的弧长可以近似用图2的式子来表示。

则线的总弧长近似等于各个子区间的弧长之和

当n趋于无穷时，曲线弧长可以用极限的形式表示，且根据定积分的定义，可以得出曲线弧长与定积分的关系，如图4所示。

2.参数曲线

用参数形式来描述函数曲线，曲线长度的计算公式。

扩展资料：

曲线长度计算

对于任意的多元函数，在任意的一点有切向量 a ，则此条曲线的长度即为<a,a>，即a*a；其显性公式为 L(t) = ∫(a,b) √∑(dxi/dt)^2 dt， 在一元函数中有 L(t) = ∫ √ (f'(x))^2 + 1 dt

参考资料来源：百度百科-曲线长计算公式