Question

3. 对某仅包含左右括号的字符串而言，若其中左括号和右括号可以正确的匹配，那么称其为均衡字符串。例？

3. 对某仅包含左右括号的字符串而言，若其中左括号和右括号可以正确的匹配，那么称其为均衡字符串。例如，字符串“(())”和“()()”都是均衡字符串，但是“())(()”不是均衡字符串。给定一个长度为n的仅包含左右括号的字符串S，请求出字符串S的最长均衡子序列。换言之，请从S中挑选出尽量多的字符按顺序组成新字符串S'，使得S'是一个均衡字符串。例如，对字符串“())(()”而言，我们可以挑选其中第1，2，5，6个字符构成一个长度为的均衡字符串“()()”。我们用表示字符串的最长均衡子序列长度，则其递推式应为      （分析设计原理，并写出其递推式）

Answer 1

递推式：

设dp[i][j]表示S[i...j]中的最长均衡子序列长度，则有：

• 当S[i]和S[j]匹配时，即S[i]='('，S[j]=')'时，有dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2。

• 当S[i]和S[j]不匹配时，即S[i]='('，S[j]='('或S[i]=')'，S[j]=')'时，有dp[i][j]=max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])。

• 当i=j时，有dp[i][j]=0。

最终答案为dp[0][n-1]。

分析：

对于一个均衡字符串，其左右括号的数量相等，且左括号必须在右括号的左边。因此，我们可以考虑使用动态规划来解决这个问题。设dp[i][j]表示S[i...j]中的最长均衡子序列长度，我们需要找到状态转移方程。

当S[i]和S[j]匹配时，即S[i]='('，S[j]=')'时，S[i]和S[j]可以组成一个均衡字符串，因此dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2。

当S[i]和S[j]不匹配时，即S[i]='('，S[j]='('或S[i]=')'，S[j]=')'时，S[i]和S[j]不能组成一个均衡字符串，因此我们需要在S[i+1...j]和S[i...j-1]中找到最长的均衡子序列，即dp[i][j]=max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])。

当i=j时，S[i]不能组成一个均衡字符串，因此dp[i][j]=0。

最终答案为dp[0][n-1]，其中n为字符串S的长度。

设计原理：

动态规划是一种将复杂问题分解成更小的子问题来解决的算法。在本题中，我们将字符串S分解成更小的子问题，即S[i...j]，并使用dp[i][j]来表示S[i...j]中的最长均衡子序列长度。通过状态转移方程，我们可以逐步求解出dp[0][n-1]，即字符串S的最长均衡子序列长度。