Question

线性代数：设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=λ3=1，已知A的属于λ1=-1的特征向量为p1={0,1,1}

求出A的属于特征值 λ2=λ3=1的特征向量，并求出对称矩阵A。
设特征向量x={x1,x2,x3}转置。 求出的两个特征向量，x1要分别取1，0嘛？这是什么原因。
解出来其中之一是p2={1,0,0}转置 p2={0,1,-1}转置。为什么不让p2={1,1,-1},是不是跟线性无关有关系？如果 是两个向量怎么判断相关性呢？我只会三个向量的。。。

Answer 1

第一个问题：
由于属于不同特征值的特征向量是相互正交的。
因此属于1的特征向量与属于-1的特征向量正交，假设属于1的特征向量为(x,y,z)则：
y+z=0,x任意
这样得到基础解系 α=(1,0,0) β=(0,1,-1)
属于1的特征向量可以视为α和β的线性组合！也就是说矩阵A属于1的特征子空间是二维的。
你说的p2={1,1,-1},也是属于1的特征向量,但是还应该找一个与{1,1,-1}线性无关，且与p1={0,1,1}正交的向量。这样才能保证特征子空间是二维的。

第二个问题：
两个向量α和β判断相关性很简单，令k1*α+k2*β=0.如果α和β都有n个分量,得到一个具有n个方程2个未知数的方程，写出系数矩阵A，如果系数矩阵的秩=2，则线性无关。如果系数矩阵的秩<2,则线性相关！