Question

平行四边形ABCD中,E为AB上一点,F为AD上一点,ED与BF相交于G,ED=BF,求∠BGC=∠DGC

Answer 1

∵ABCD是平行四边形,∴AD∥BC、AD＝BC、AB∥DC、AB＝DC,
∴∠AFB＝∠CBG,∠AED＝∠CDG.
由正弦定理,有：ED/sin∠A＝AD/sin∠AED、BF/sin∠A＝AB/sin∠AFB,又ED＝BF,
∴AD/sin∠AED＝AB/sin∠AFB,∴BC/sin∠CDG＝DC/sin∠CBG,
∴BC/DC＝sin∠CDG/sin∠CBG.······①
再由正弦定理,有：CG/sin∠CBG＝BC/sin∠BGC、CG/sin∠CDG＝DC/sin∠DGC,
两式相除,得：sin∠CDG/sin∠CBG＝（BC/DC）（sin∠DGC/sin∠BGC）.······②
比较①、②,得：sin∠DGC/sin∠BGC＝1,∴sin∠BGC＝sin∠DGC.
显然,有：∠BGD＜180°,∴∠BGC＋∠DGC＜180°,∴∠BGC＝∠DGC.