Question

若二次函数f（x）=ax^2+bx+c(a≠0)满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1

①求f（x）的解析式
②若区间［-1，1］上，不等式f（x）-2x＞m恒成立，求实数m的取值范围
③令g（x）

Answer 1

C=1，f（x+1）-f（x）=2x
∴f（x）-f（0）
=〔f（x）-f（x-1）〕+〔f（x-1）-f（x-2）〕+······+〔f（1）-f（0）〕
=2（x-1）+2（x-2）+······+2*1
=x（x-1）
∴f（x）=x²-x+1
∴a=1，b=-1
要使f（x）-2x＞m在〔-1，1〕上恒成立，
则m＜x²-3x+1=（x-3/2）²-5/4在〔-1，1〕上最小值-5/4
∴m的取值范围为（-∞，-5/4）