Question

求答案，求过程！

Answer 1

1）易知BPE是直角三角形，且角B是60度，所以EP=2倍根号3；另角FPC为直角（180-30（EPB）-60（EPF）=90），角C是60度，PF=2倍根号3；即EP=PF，且角EPF=60度，你说EPF是什么形状，当然是等边三角形。

2）PC=2，所以FC=4，又角GFC=90度 （30+60），所以GF=4倍根号3，即GF=2EF，那么EF=EG。又EF=EP，所以GEP是等腰三角形，且角EPG=30度，即角GEP=120度。所以正弦定理三角形GEP的面积3倍根号3，而三角形BEP的面积=2倍根号3；因此GBE的面积是根号3

3）若根据1）的预设P是BC的三等分点，所以PC=2，而CF=2，所以PC=CF,且角C=60度，所以FPC是等边三角形，即角FPC=60度。那么角EPB=60度。又角B=60度，那么EPB是等边三角形，所以EP=BP=4。

下面的解答，请同时查看附件的图片（无法直接插入，请谅解）

若不预设P是BC的三等分点，即P是任意点，要满足AE=FC的条件，可证明P必为三等分点，简单证明（详细的如你需要，我可以再告诉你）如下

根据圆周角的性质，可知要使角EPF=60度，P必须在一个同时通过点E和点F的圆的圆周上，且圆的半径三分之根号3的EF，即2. 而这样的圆只有两个（图中蓝色和绿色的），圆心分别在AC的三等分点（图中点N）和AB和AC两个三等分点连线的中点（点M）。且只有圆M与BC有交点，交点是BC的两个三等分点。所以若PC=2，则如上证明PE=4；若PC=4，PE=2倍根号3