离散数学 设R是集合A上的等价关系,S={<a,b>|c∈A,aRc∧cRb},证明S是A上的等价

离散数学设R是集合A上的等价关系,S={<a,b>|c∈A,aRc∧cRb},证明S是A上的等价关系... 离散数学 设R是集合A上的等价关系,S={<a,b>|c∈A,aRc∧cRb},证明S是A上的等价关系 展开
robin_2006
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对于任意的a∈A,因为R是等价关系,所以aRa,由S的定义可知(a,a>∈S。所以S非空且有自反性。

如果<a,b>∈S,那么存在c∈A,使得aRc,cRb。因为R是等价关系,有对称性,所以bRc,cRa,由S的定义可知<b,a>∈S。所以S有对称性。
如果<a,b>,<b,c>∈S,那么存在d∈A,使得aRd,dRb。存在e∈A,使得bRe,eRc。因为R是等价关系,有传递性,所以由dRb,bRe,eRc可知dRc。由aRd,dRc以及S的定义可知<a,c>∈S,所以S有传递性。
所以,S是等价关系。
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